MERSİN DOĞA KOLEJİ MATEMATİK KULÜBÜ
  PARADOKSLAR
 

 

PARADOKSLAR

 "Bilidiğim tek şey hiç bir şey bilmediğimdir."

Socrates

" Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."     

   (Nicolas Bourbaki)

4                                              

 

Paradoks, görünüşte doğru olan bir ifade veya ifadeler topluluğunun bir çelişki yaratması veya sezgiye karşı bir sonuç yaratmasıdır. Çoğunlukla, çelişkili gözüken sonuç veya sonuçlar aslında çelişkili değildir veya doğru gözüken ifade veya ifadelerin aslında tam olarak doğru olmayan unsurları vardır.

 

Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslında doğru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlış olarak çıkar karşımıza. Tam tersi de mümkündür; yıllarca yanlış zannettiğimiz olayların, fikirlerin, hesaplamaların, doğru olduğunu görmek, bizi şaşkınlığa ve hayrete düşürür.

 

 

Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermiştir. Giritli olan Epimenides:

-'Bütün giritliler yalancıdır!' diyerek bizi çelişkiye götürür. Şöyle ki :

Eğer gerçekten giritliler yalancı ise kendisi de giritli olduğuna göre o da yalancıdır. Yani söyledikleri yalandır(mesela yukarıdaki cümlesi).

Bu cümle yalan  olduğuna göre doğrusu şu olmalı:

-'Bütün giritliler doğrucudur, doğru söyler.'
O halde söylediği doğrudur. Yani 'bütün giritliler yalancıdır......'

 

 

2

 

 

 

Basit paradokslar

 

-"Söylediğin her şey doğru mu?"
-"Hayır!"

Bu adam güvenilir biri midir? Önce fikir yürütelim:
"Hayır" dediğine göre arada bir yanlış(yalan) söylüyor demektir. Arada bir yanlış konuşuyorsa "hayır" dediği de yanlış veya yalan olabilir. O zaman "hayır", "evet" olur. Bu sefer de "evet" diyorsa, her söylediği doğru olduğundan "hayır" da doğrudur... İyisi mi bu adama pek itimat etmeyelim...

 

Socrates'in paradoksu

"Bilidiğim tek şey hiç bir şey bilmediğimdir."

 

 

Timsah Paradoksu


Bir annenin elinden çocuğunu kapan timsah, çocuğa ne yapacağını annenin bilmesi durumunda çocuğu vereceğini söyler. Anne, timsaha çocuğunu yiyeceğini söyler, böylelikle meydana gelen paradoksal durum sonucunda çocuğunu kurtarır.

Şöyle ki, timsah çocuğu yiyecekse anne timsahın ne yapacağını bilmiş olacak ve timsah çocuğu teslim edecek ancak çocuk teslim edilince anne timsahın ne yapacağını bilememiş olacak; timsah çocuğu yemeyecekse anne bilemediğinden çocuğu yiyecek ama o zaman anne timsahın yapacağının bilmiş olacak ve bu yüzden yememesi gerekecek.

3

 

Yamyam Paradoksu

 

Bir adada yaşayan bir grup yamyamın eline bir mantıkçı düşer. Yamyamlar mantıkçıya şöyle derler: "Biz her yakaladığımız yabancıyı yeriz. Kimini haşlayıp, kimini kızartıp yeriz. Avımıza bir soru sorarız. Avımız soruyu doğru yanıtlarsa haşlarız, yanlış yanıtlarsa kızartırız."
Dedikleri gibi de yaparlar. Mantıkçıya şu soruyu sorarlar: "Seni haşlayıp da mı yiyeceğiz, yoksa kızartıp da mı yiyeceğiz?" Mantıkçı bir süre düşündükten sonra soruyu çok akıllıca cevaplar: "Kızartacaksınız!" İşte yamyamları çaresiz bırakan paradoks ortaya çıkmıştır, ve bu yanıtı sayesinde mantıkçı ne kızartılır ne de haşlanır.


Bir an için mantıkçının kızartılacağını varsayalım. O zaman verdiği yanıt doğru olur. Ama yanıt doğru olduğu için -yamyamların kendi kurallarına göre- mantıkçının haşlanması gerekmektedir. Demek mantıkçı kızartılamaz. Şimdi de mantıkçının haşlanacağını varsayalım. O zaman mantıkçının yanıtı yanlış olacak. Yanıt yanlış olduğundan da kızartılması gerekmektedir. Demek mantıkçı haşlanamaz da. Yamyamlar tam bir kısırdöngüye girmişlerdir. Kızartsalar haşlamaları gerekecek, haşlasalar kızartmaları! Sonuç olarak adamımız kurtulur.

 

Berber Paradoksu: 


Klasik paradokslardan biri daha:
Bir berber, bulunduğu köydeki erkeklerden, yalnızca kendi kendini traş edemeyen erkekleri traş ediyor. Berberi kim traş edecek?


Kendi kendine traş olsa; kendisini traş edebildiği için tanıma ters düşecek. Başkası traş etse; o kişi kendi kendine de traş olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)Kendini traş etmeyenleri traş eden berber kendini traş edemez.
Kendini traş etmezse tanımdan dolayı kendini traş etmesi gerekir, ama bu da bir çelişkidir.

 

"kendi başını kazıyan adamların kafasını kazımam" diyen berber kendi başını kazır mı?

 

ASKER PARADOKSU


Askerin biri esir aldığı diğer askere demişki "öyle bir şey söyle, eğer söylediğin yalan ise seni kurşuna dizeceğim, ama eğer doğru ise seni asacağım". Bunun üzerine esir asker bir cümle söylemiş ve serbest kalmış. Acaba ne demiş.

cevap:
"Beni kurşuna dizeceksin"-

Eğer onu kurşunlarlarsa doğruyu söylemiş olacak asılması gerekirdi- Eğer onu asarlarsa yalan söylemiş olur kurşunlanması gerekirdi

 

Yalancı paradoksu


"Şimdi yalan söylüyorum."

 

Bu önermenin doğru olduğunu varsayalım. Öyleyse yalan söylüyorum. Ancak önermenin doğru olduğunu varsaymıştık öyleyse çelişkiye düştük.
Bu önermenin yalan olduğunu varsayalım. O zaman bu cümle doğru olmalıdır. Gene bir çelişki.

5


Doğru Parçası Paradoksu:


Önce doğru parçasının tarifini yapalım:
Doğru Parçası: Başlangıcı ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan oluşan doğru.Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kağıda bıraktığı en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanınboyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks başlıyor:


Noktanın boyutu olmadığına göre iki noktanın yan yana gelmesi birşey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yan yana geldiğinde herhangi bir şekil oluşturmaz.( Çünkü şekil oluşturması için gerekli olan boyut özelliğini sağlamıyor) Bu şuna benzer ki; sıfır ile sıfırın toplamı yine sıfırdır. Milyarlarca sıfırı toplasak 'yarım' dahi etmez. O halde doğrunun tanımında bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanın yan yana gelmesi bir şey ifade etmez! Noktanın çok çok az da olsa boyutu olduğunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanın tarifi hatalı olur.
Noktayı boyutlu kabul edelim. Karşımıza bir paradoks daha çıkar; doğru parçasında sonsuz adet nokta olduğuna göre doğru parçasının da uzunluğu sonsuz olmalıdır. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir şeyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

 

 

 

Karışım Paradoksu:


Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kaşık sütten alıyoruz ve kahve fincanına döküyoruz. İyice karıştırıp oradan da bir kaşık alıyoruz ve süte döküyoruz. Şimdi sorumuz geliyor:
Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladır?


Cevap şaşırtıcı gelebilir ama karışım oranları eşittir. İşte ispatı:
Kabul edelim ki karışımımız homojen olmasın. Meselâ kahveye kattığımız süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldığımız miktar tabi ki sütten aldığımıza eşit olacaktır. Veya:
İlk karışımdan sonra kaşığımızın yarısı süt, yarısı da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarım kaşık kahve, kahvede yarım kaşık süt bulunacaktır. Veya:
İlk karışım homojen olsun. Aldığımız bir kaşık karışımın % 90 ını kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 ı kahvede kalmıştır. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracağından karışım oranları eşit olur.

 

 

Karışık Bir Hesap:


İki çocuk ayrı ayrı kalem satmaktadırlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardır. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; diğeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. İlki 30 kalemden 100 TL, diğeri de 150 TL kazanır. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çıkarlar. Yolda karşılaştıklarında biri diğerine der ki:
-"Gel seninle ortak olalım. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalım. Kazandığımız parayı da paylaşırız. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanırlar. Yani:
5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;
x=(60.20)/5= 240 TL
Çocuklar, ayrı ayrı satış yaptıklarında toplam 250 TL kazanıyorlardı. Beraber sattıklarında neden 10 TL zarar ettiler?

 

 

 

Hempel Paradoksu:


Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtır!"


Bu önermeyi iki şekilde ispatlayabiliriz:
a) Çok sayıda kuzgun görüp, hepsinin de siyah olduğunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan şeylerin, aynı zamanda kuzgun da olmadığını görerek.
Bilinen şu ki çok sayıda siyah kuzgun ve yine çok sayıda siyah olmayan, aynı zamanda kuzgun da olmayan cisim vardır. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayız. Kırmızı cisimler için bu uygulama yapılmamışsa "bazı kuzgunlar kırmızı " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarım" ın itibarını sarsmıştır.

 

 

 

 

II. Murat'ın dilemması

 

Sultan II. Murat 1444 yılı Ağustos'unda tahtı 12 yaşlarındaki oğlu II. Mehmet'e (daha sonra Fatih Sultan Mehmet olacak) bıraktı. Tahta bir çocuğun geçtiğini öğrenen İtalyan, Alman, Lehistan (şimdiki Polonya), Macaristan, Sırp ve Ulahlardan müteşekkil yeni bir Haçlı Ordusu Eylül'de savaş ilan edip Varna'ya kadar geldi. Bunun üzerine II. Mehmet Manisa'ya çekilen babası II. Murat'a bir mektup gönderdi:

"Padişah biz isek, size emrediyoruz, gelip ordunun başına geçiniz; yok siz iseniz gelip devletinizi müdafaa ediniz."

 

Euplides (Kum Yığını) Paradoksu:


Euplides, hiçbir zaman bir "kum yığını" oluşturulamayacağını iddia etmiştir. Çünkü bir kum tanesi, "yığın" değildir. Yanına bir tane daha koyarsak yine yığın oluşmaz. "Kum yığını" olmayan bir şeyin yanına (veya üzerine) kum tanesi koymakla yığın elde edemeyeceğimize göre Hiçbir zaman "kum yığını" oluşturamayız.


Daha açık bir deyişle: Kabul edelim ki birer birer kum tanelerini biraraya getirelim. Hangi merhaleden sonra kumlar "yığın" oluşturur? Diyelim ki 'bir milyon' adet kum tanesi, bir yığın oluştursun. Dokuzyüz doksandokuzbin dokuzyüz doksandokuzu "kum yığını" kabul edilmeyecek mi? Edersek "1" eksiği de yığın olmaz mı? Yani hangi aşama bizim için "yığın" anlamına gelir?

 

 

 

Sana;
Kimisi doğru,
Kimisi yanlış,
Deyu söyler...
Nesin sen?
Haydi ! Söyle doğrusunu...
Yanlış mısın şair?
FUZULİ

 


YAPTIĞIM AÇIKLAMA YANLIŞTIR
Eublides


BÜTÜN GİRİTLİLER YALANCIDIR
Giritli Eupiminides


DÜŞMANLA KARŞILAŞTIK VE O BİZİZ
Walt Kelley


KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERMEYEN KÜMELERİN KÜMESİ KENDİ KENDİSİNİ ELEMAN OLARAK İÇERİR Mİ?
Bertrand Russell

 

Zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy)

Bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2 sini gitmesi gerekir. Ancak d/2 sini gitmeden önce d/4 ünü gitmesi gerekir. d/4 ünü gitmeden önce d/8 ini gitmesi gerekir vs. Bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. Öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. O halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.

Bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. Bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. Yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.

Matematiksel çözümü cebiri ve  gibi sonsuz geometrik serilerin yakınsadığının kanıtlanmasını beklemiştir. Gittikçe kısalan yarı yolları almak için geçen zaman da git gide kısalmaktadır ve bunlar birbirini telafi eder.

 

Zeno'nun 2. paradoksu (Achilles ve kaplumbağa paradoksu):

Kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. Aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. Aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. Bu böylece devam ederse Aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. Ancak Aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. Bu bir paradoks.

Bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.

 

Zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu):

Uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. Ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez, öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?

 

Zeno'nun 4. paradoksu (Stade paradoksu):

Bu paradox zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (Tam metnini bulamadım, bilen var mı?)

 


İlginç Hikâyeler 


Nasreddin Hoca:
Nasreddin Hoca bir gün heybe almak için pazara gider. Güzel bir heybe görüp pazarcı ile pazarlık yapar ve 1 akçeye anlaşırlar. Tam oradan ayrılacaktır ki daha güzel bir heybe dikkatini çeker:
- Kaç akçe şu heybe muhterem?
- 2 akçe hocam.
- Aldım gitti, diyen hoca elindekini bırakır ve onu alıp tam gidecekken pazarcı seslenir:
- Hocam. Bu heybe 2 akçe. Sen 1 akçe verdin.
Hoca sinirlenir:
- Bre cahil adam! Sana önce 1 akçe verdim. Sonra da 1 akçelik heybe bıraktım! İkisi eder 2 akçe. Daha benden neyin parasını istersin!

 

 

Parite Olayı:


Olay, henüz döviz kurlarının uygulanmadığı yıllarda ABD-Kanada sınırındaki bir şehirde geçmektedir:

ABD ve Kanada malum ki para birimi olarak 'dolar' kullanmaktadırlar. Yalnız her iki ülke de kendi paralarının daha değerli olduğunu iddia etmektedirler. Şöyle ki Kanadalılara göre:

1 ABD Doları= 90 Kanada Centi, Amerikalılara göre ise :
1 Kanada Doları= 90 ABD Centi.

Bir amerikalı, cebindeki 1 dolarla dolaşmaya çıkar. Bir ara karnı acıkır ve simit alır (amerikan simiti!). Simitin fiyatı 10 centtir. Cebindeki 1 doları verir. Simitçi bozuk para ararken cebinin bir köşesinde 1 Kanada doları bulur, onu verir (90 cente eşit ya!). Derken sınırı yürüyerek geçer ve Kanada da dolaşmaya başlar. Kaleme ihtiyacı olduğunu hatırlar. Girer bir kırtasiyeciye. Kalemin fiyatı da 10 Kanada centidir. Cebindeki 1 Kanada dolarını verir. Kırtasiyeci de para üstü olarak 1 ABD doları verir. Oradan da ayrılıp evine döner. Sonra düşünmeye başlar:

- Yahu sabah evden çıkarken cebimde 1 ABD dolarım vardı, şimdi de 1 ABD dolarım var. Pekiyi simitle kalemin parasını kim verdi?

 

Hızlı Kaplumbağa:


Bu paradoks, Zenon Paradoksu olarak ta bilinir:

Hikaye bu ya, kaplumbağanın biri yolda Carl LEWİS'le (Bu ismin gerçek hayatla hiçbir ilgisi yoktur!) karşılaşır. Kısa bir sohbetten sonra kaplumbağa, Lewis'e 100 metre yarışı teklif eder. Önce bu teklife gülüp geçen Lewis, kaplumbağanın gayet ciddi ve ısrarcı olması üzerine isteksiz bir şekilde teklifi kabul eder:
- Tamam yarışalım ama neyine güvenip benimle yarışmaya kalkıyorsun be birader?
Kaplumbağa, yalnız bir şartı olduğunu söyler:
- Senden tek isteğim, ben yarışa 10 metre önden başlayacağım. Bu şartla beni kesinlikle geçemezsin. Ne o yoksa korkuyor musun?
Lewis kaplumbağanın şartını kabul eder. Yalnız kaplumbağa bir açıklamada bulunur:
- Yarışa başladığımızda sen benim ilk başladığım noktaya geldiğinde ben biraz önde olacağım(mesela 10 metre). Bu anda filmi dondurup farkı göre biliriz. Tekrar harekete başladığımızda sen ikinci kez yarışa başladığım noktaya geldiğinde ben biraz daha önde olacağım(mesela 10 cm). Tekrar hareket ettiğimizde benim son olarak geldiğim yere geldiğinde ben mutlaka senin önünde olacağım. Dolayısı ile sen hiçbir zaman beni geçemeyeceksin.
Bu sözleri duyan Carl LEWİS, yarışma fikrinden vazgeçer. Mâlum, itibar meselesi...

 

 

Temelden:


Temel, çalışmak için gittiği şehirden, köye babasına mektup yazar. Klasik mektup cümleleriyle başlayan mektup, şu notla biter:
-"Babacuğum. Acele cevabini bekliyrum. Yalnız, zarfa biraz da para koyarsan iyi olir. Oğlin Temel."
Aradan onbeş gün geçer ve mektubun cevabı gelir. Temel büyük bir heyecanla zarfı açar. İçinden sadece mektup çıkar. Mektubun sonunda da bir not vardır:
-"Oğlim Temel. Sana para göndereceydum. Ama aha bu geri zekali anan zarfi kapatmiş. Bir daha ki sefere evladim. İmza:Buban."

 

Ağanın atları:


Zengin bir köy ağası vefat eder. Vasiyeti açılır. Mallarının yarısını(1/2) büyük oğluna, dörtte birini(1/4) ortanca oğluna ve beşte birini(1/5) küçük oğluna bırakmıştır. Bütün mallar paylaşılır ancak Ortada 19 tane de "at" vardır. 19'u ne ikiye, ne dörde, ne de beşe bölmek mümkündür. Köyün en akıllı adamına gidip akıl danışırlar. Adam da onlara yardımcı olabileceğini söyler. Der ki:
-"Benim de bir atım var. Alın bunu size veriyorum. Oldu mu 20 at? Yarısını sen al bakalım (10). Dörtte birini de (5) ortanca kardeşin alsın. Beşte birini de (4) en küçüğünüze verelim. On, beş daha onbeş. Dört daha ondokuz. Verin bakalım şu bizim geriye kalan düldülü...!

 

Yalancı-Doğrucu Köy:


Günün birinde yolumuz bir köye düştü. Ama bu köy öyle sanıldığı gibi bir köy değil. Herkesin kendine göre bir özelliği var. Ve bu insanlardan ikisi bizi köyün girişindeki köprünün başında bekliyor. Burada iki köprü var. Biri köye gidiyor diğeri ise gitmiyor. Ve adamlara soruyoruz:
Köye giden köprü hangisi¿
1. adam: Ben her zaman doğru söylerim. Bu köprü köye gider.
2. adam: Ben her zaman yalan söylerim. Arkadaşımın gösterdiği köprü köye gider.
Acaba hangisi yalancı?

 

 

Erciyes'in Karı:


Yıllarca Kayserililer ile ermeniler birlikte yaşamışlardır. Birbirleriyle sıkı münasebetlerinin fazla olduğu yıllarda, bir kayserili, ermeni arkadaşından borç para ister. Ermeni arkadaşı ne zaman ödeyeceğini sorar. Kayserili:
-"Şu Erciyes Dağı'nın karı eriyince borcumu öderim."
Ermeni, bir yıl bekler. Kayseriliden ses yoktur. Gider yanına ve alacağını ister. Kayserili, Erciyes'i gösterir ve daha üzerinde kar olduğunu söyler. Bir süre sonra ermeni, kayserilinin oyununa geldiğini anlar. Bunu içine sindiremez. Artık karar vermiştir ve o da bir başka kayseriliyi kandıracaktır. Gider bir arkadaşına ve borç ister. Kayserili ne zaman ödeyeceğini sorar ve o da aynı cevabı verir:
-" Erciyes'in karı eriyince"
"Pekiyi" der kayserili. Aradan bir yıl geçer ve kayserili hemşerim alacağını istemek için ermeniye gider. Ermeni vatandaşımız bu durumu beklediği için çok rahat bir tavırla Erciyes'i gösterir ve hâlâ karın erimediğini söyler. Kayserilinin de cevabı hazırdır:
-"O gördüğün kar, bu yılın karı. Geçen yılın karı çoktaaaan eridi"
Ermeni ne yapacağını şaşırır ve çaresiz borcunu öder.

 

 

Müfettiş Paradoksu:


Bir işyerini, önümüzdeki on gün içinde vergi müfettişleri denetlemeye gelecektir. Müfettişler, mantık oyunlarını sevdikleri için işyeri yetkilisine telefon açarlar ve:
-"Hangi gün geleceğimizi, o günün sabahında tahmin edebilirseniz, denetimden kurtulacaksınız" derler.
Defterleri denetimden geçemeyecek kadar karışık olan işyerinin yetkilisi, biraz düşünür ve müfettişlere:
-"Galiba bu denetimi yapamayacaksınız efendim. Çünkü buraya geleceğiniz günü çok kolay tahmin edebilirim. Şöyleki:
Denetimi, onunucu ve sonuncu güne bırakmazsınız. Çünkü ben ilk dokuz gün gelmediğiniz takdirde onuncu gün geleceğinizi hemen bilirim. Dokuzuncu gün de gelmezsiniz. Çünkü ilk sekiz gün içinde gelmezseniz, dokuzuncu gün geleceğiniz açıkça belli olur. (Onuncu gün gelmeyeceğinizi az önce ispatlamıştım). Onuncu ve dokuzuncu gün gelemeyeceğinize göre denetimi, sekizinci güne de bırakamazsınız. Çünkü ilk yedi gün içinde gelmediğiniz takdirde sekizinci gün geleceğinizi hemen anlarım...
Yetkili, mantık oyunlarına müfettişlerden daha meraklıymış:)
devam edecek...

 

 

 

Alaaddin'in sihirli lambası

 

Alaaddin'in sihirli lambasından çıkan cini herkes bilir. Cin diyor ki:
-Dile benden ne dilersen. Unutma ki sadece 'bir' dilek hakkın var ve mutlaka yerine gelecek.
Siz olsanız ne isterdiniz? Alaaddin öyle bir istekte bulunuyor ki cin ne yapacağını şaşırıyor:
-Benim tüm dileklerimi yerine getir!

 

 

 

 

Günlük Hayattada paradokslarla karşılaşırız;

 

"Bu duvara ilan yapıştırmak yasaktır."

 

Bir otobüs ilanında insanı düşündüren bir paradoks yer alıyor :
-"okuma-yazma öğrenmek isteyenlere müjde! hemen aşağıdaki adrese başvurun..."

 

 

 

Meşhur Problemler: Ünlü Paradokslar

 

Matematik bireysel medeniyetleri ve özel dilleri aşar. O, geniş bir mantık sistemi - bir çeşit kainat dilidir. Matematikçileri eski zamanlardan şu ana kadar zorlayan belirli paradoks ve çelişkiler çıkmıştır. Bazıları yanlış paradokslardır: gerçek çelişkiler sunmazlar ve yalnızca düz mantıksal hilelerdir. Diğerleri matematiğin temellerini bile sarsmışlardır - çözmek için parlak, kreatif matematiksel düşünce gerektiren. Diğerleri bu güne kadar çözülemeden gelmiştir. Burada iki paradoks anlatılacak: Zeno’nun hareket paradoksu ve Cantor tarafından çözülen sonsuz kümeler paradoksu.

Zeno Paradoksu:

Yunanlı filozof Elea’lı Zeno(M.Ö. 495 ila 480 arasında doğmuş) değişik felsefik çevrelerde karşılaştığı, zaman ve uzayın kabul görmüş meseleleri üzerine doğruluklarını sorgulayıcı dört paradoks öne sürmüştür. Onun paradoksları asırlardır matematikçileri şaşırtmıştır, ta ki paradoksların tamamiyle çözülebileceği Cantor’un sonsuz kümeler teorisini geliştirmesine kadar (1860 ve 1870 lerde).
Zeno’nun paradokları matematiğin en derin bir meselesine, soyut ile devamlı arasındaki ilişkiye odaklanıyor. Burada onun meşhur dört paradoksundan ilkini sunacağız. Zeno’nun ilk paradoksu zamanında birçok filozofun kabul ettiği bir fikre saldırmaktadır: uzay sonsuz çoklukta bölünebilir ve bu nedenle hareket devamlıdır.

Paradoks 1 (Hareketsiz koşucu):
Bir koşucu belirli bir mesafeyi -diyelim 100 metre- verilen sınırlı bir zamanda koşacak. Ama 100 metre bayrağına ulaşmak için önce 50 metre bayrağına varmalı ve buna ulaşmak için önce 25 metre bayrağına varmalı. Ama yine buna ulaşmak için önce 12.5 metre bayrağına varmalı.
Uzay sonsuz çoklukta bölünebildiğine göre bu aşamalar sonsuza kadar tekrar edebilir. Yani koşucu sınırlı bir zamanda sonsuz sayıda orta noktaya ulaşmak zorunda. Bu mümkün olmadığına göre, koşucu hedefine varamayacaktır. Genelde, bir noktadan diğerine gitmek isteyen kimse bu koşulları sağlamalıdır, ve böylece hareket imkansız olacaktır ve hareket olarak algıladığımız şey sadece bir illüzyondur.
Düşünce nerede koptu? Neden?

Sonsuz Kümeler:
Tamsayılar mı, çift tamsayılar mı daha fazladır?
Kolay bir soru gibi görünüyor, öyle mi? Herşeyden öte, her çift tamsayı bir tamsayıdır ama tüm çift sayılar için ne demeli? Yani çift tamsayılardan daha fazla tamsayı vardır, doğru mu? Fakat bekleyin bir dakika. Kaç tane çift tamsayı vardır? Sonsuz sayıda. Peki kaç tane tamsayı vardır? Yine sonsuz sayıda. Hmmmmm…
“Sonsuz” diyor A öğrencisi, ” sadece bir terimdir… gerçekte bana her birinden aynı sayıda olduğunu göstermenin yolu yoktur.”

Tamam, bir oyun oynayalım…” diyor öğrenci B. “Bana bir tamsayı söyle, ben de sana karşılığında bir çift sayı söyleyeceğim. Ve senin sayıların farklı olursa, benim söylediklerimin de farklı olacağını garanti ederim.”

Matematik ögrencisi A: Tamam…1
Matematik öğrencisi B: 2
A: 2
B: 4
A: 18
B: 36
A: -100
B: -200
A: n
B: 2n
A: Ne demek istediğini anlamaya başlıyorum. Matematik sınıfında öğrendiğimiz küme teorisinin bir kısmını düşünelim. Çift sayılar kümesi tamsayılar kümesinin içinde yer alıyor ama bu kümeye eşit değil. Böylece bu iki küme eşit olamaz.

(Kim doğru? Öğretmen sınıfta tahtaya ne tür kümeler yazdı? Bu kümelerin birbirlerinden farkı ne?)

Yukarıdaki problemle karakterize edilen paradoks, asırlarca matematikçileri şaşırtmıştır. Kalbinde tüm matematiğe dadanan tehlikeli kavram yatmaktadır: sonsuzluk. 1874 de Georg Cantor, ilk ve son kez problemi çözen sonsuzluk dereceleri sistemi üzerine çalıştı ve matematikçilerin sonsuzluk ve küme teorisi anlayışlarını büyük ölçüde artırdı.

 

FFD

Cantor’un Çözümü: Sayılamamazlık

Önceki örnekte öğrenci B, aşağıdaki gibi bir eşleşme oluşturacak şekilde, tüm sayıları iki katıyla eşleştirdi:

…-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…
..-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10..

Tamsayılar şu şekilde doğal sayılarla bire bir eşlenebilir:

1, 2, 3, 4, 5,…
0, -1, 1, -2, 2,…

Şimdi, Cantor şu tanımı yapmıştır:

Tanım: İki küme, eğer elemanları arasında bire bir eşleme yapılabiliyorsa, büyüklükte (boyutta) eşittirler. Bunun anlamı doğal sayılar, tamsayılar ve çift sayılar kümeleri hep ‘aynı sayıda’ elemana sahiptir. Cantor doğal sayıların sayısını sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı olan No ile gösterdi. Gösterim kolaylığı açısından, doğal sayılar kümesi ( ve eş büyüklükteki tüm kümeler) genelde sayılamaz (denumerable) dendiği için, bu sayıyı d ile göstereceğiz. Bir küme sayılamazdır ancak ve ancak sonsuz bir dizi {a1, a2, a3…} olarak yazılabiliyorsa. Bu durumda a1 terimi 1 sayısına, a2 2 ye, vb eşleşir.

Kümelerin büyüklüklerini gösteren sayılara kardinal sayılar denir. Sınırlı kümeler için kardinal sayılar doğal sayılardır. Eğer büyüklüğü X olan bir kümenin Y büyüklüğe sahip bir öz alt kümesi (kendisine eşit olmayan alt kümesi) varsa, ama Y büyüklüğe sahip bir kümenin X büyüklüğünde bir öz alt kümesi yoksa, X kardinal sayısı Y kardinal sayısından büyüktür denir. Herhangi sonsuz bir kümenin, {a1, a2, a3…}gibi sonsuz bir alt kümesi olacağından, en küçük sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı d dir.

 

Teorem: Rasyonel sayılar kümesi sayılamazdır, yani d kardinal sayısına sahiptir.

İlk bakışta, rasyonel sayıların doğal sayılardan ‘daha’ fazla olduğu düşünülür, çünkü herhangi farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Bu doğal sayılar için doğru değildir. Bununla birlikte, Cantor yukarıdaki teoremi şu şekilde ispatladı:

d sayısı en küçük sınırlıdönüşüm (transfinite) sayısı olduğundan, sadece rasyonel sayıları içeren bir kümenin sayılamaz olduğunu ispatlamak yeterlidir. Yani, rasyonel sayılar kümesi sonsuz bir kümedir, böylece büyüklüğü d olur ve kendini kapsayan bir kümenin büyüklüğünden daha büyük olamaz. Şu kümeyi ele alalım:

VVF

Bu küme rasyonelleri içeriyor (çoğunu birden fazla). Şimdi, bu kümeyi şu şekilde sıralayalım:

FDS

Sayılamaz {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3…} kümesi elde edilir.

Şimdisıfırla başlayıp her sayının negatifini de katarak aşağıdaki kümeyi bulalım:

{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3…}

Böylelikle rasyonelleri içeren bir küme, doğal sayılarla sistematik bire-bir eşlemeye sokuldu.

SD

 

devam edecek...

 

 
  Bugün 11 ziyaretçi (19 klik) kişi burdaydı!  
 
=> Sen de ücretsiz bir internet sitesi kurmak ister misin? O zaman burayı tıkla! <=